Физтех 2022, 10 класс, задача 5
( баллов) Окружности и касаются в точке внутренним образом. Отрезок - диаметр большей окружности , а хорда окружности касается в точке . Луч повторно пересекает в точке . Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника , если известно, что , .
Ответ
Ответ. , , .
Решение. Обозначим , а радиусы и через и соответственно. Пусть и - центры окружностей и соответственно; - точка пересечения и , отличная от .
Отметим, что (касательная перпендикулярна радиусу ) и (угол вписан в окружность и опирается на её диаметр). Значит, треугольники и подобны (по двум углам). Отсюда
то есть
а значит, . По теореме о касательной и секущей
Следовательно, , , .
Далее находим углы:
Следовательно,
Перейдём к нахождению площади. Она равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними:
Поскольку
то окончательно