Физтех 2020, 10 класс, задача 5
( баллов) По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке . Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках и соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
Ответ
Ответ. , , , .
Решение. Обозначим точки, в которых находятся водомерка и жук, и соответственно, где и - углы, которые образуют радиус-векторы точек и с положительным направлением оси абсцисс.
Заметим, что угол между и равен , и при этом
где , - углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
Расстояние между водомеркой и жуком будет наименьшим тогда, когда угол между векторами и равен нулю. Поскольку
это радиусы окружностей, и , то угловая скорость водомерки в раз больше угловой скорости жука.
Пусть к моменту совпадения направления векторов и жук продвинулся на угол . Тогда
Следовательно,
Различных точек будет четыре: при .
Для получаем . Координаты положения жука найдём по формулам
Используя координаты точки , находим
По формулам косинуса и синуса суммы углов получаем
Отсюда
Остальные точки получаются поворотом точки вокруг начала координат на углы , , и имеют, соответственно, координаты