СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

( баллов) На доске были записаны два примера на сложение чисел, но хулиган Вася стер в каждом примере одно из слагаемых, а также получившийся результат:

Отличник Петя помнит, что стертое слагаемое было одинаковым для обоих примеров, а результатами являлись квадраты различных натуральных чисел. Найдите все возможные варианты значений стертого слагаемого, которые сможет предложить Петя?

Ответ

Ответ: Петя найдет два возможных слагаемых ( и ).

Решение. Пусть — стертое слагаемое, а и — правые части равенств. Составим разность: . Заметим, что и имеют одинаковую четность, а значит, являются четными числами. Поскольку , то имеем два варианта:

Решая системы, находим , , и , , .

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.

Сложная

Алгебра

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 11

(40 баллов) Числа от 1 до 600 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе более одного числа, то сумма любых двух чисел из этой группы делится на 6. Какое наименьшее количество групп может быть?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 14

(40 баллов) Докажите, что среди трех чисел 777²⁰²¹ · 999²⁰²¹-1, 999²⁰²¹ · 555²⁰²¹-1 и 555²⁰²¹ · 777²⁰²¹-1 только одно делится на 4.

Сложная

Теория чисел

СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(40 баллов) Пусть k-значное число A=123ldots(k-1)k записано в системе счисления с основанием n<10, а k-значное число B=(k-1)(k-2)ldots10 записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел A и B такие, что A=B.

Сложная

Алгебра

Теория чисел