СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7
( баллов) На доске написаны числа , , , ..., . Двое игроков по очереди стирают по одному из чисел на доске до тех пор, пока на доске не останется всего два числа. Если разность этих двух чисел делится на , то выигрывает второй игрок, иначе — выигрывает первый. Как должен действовать второй игрок, чтобы выиграть вне зависимости от действий соперника?
Ответ
Ответ: Второй игрок должен стирать число, основание которого в сумме со стертым первым игроком дает .
Решение. Пусть на доске остались числа и . Тогда . Чтобы эта величина делилась на , необходимо, чтобы либо , либо делилось на . Заметим, что . Следовательно, , где , также будет делиться на . Таким образом, все выписанные на доске числа можно разбить на пары, разность элементов в которых делится на . Поэтому если второй игрок будет стирать «парное» число тому, которое стер первый игрок, на доске в итоге останутся два числа, составляющие одну «пару» и их разность будет делиться на .