Физтех 2022, 10 класс, задача 6
( баллов) Найдите все пары чисел такие, что неравенство
выполнено для всех на промежутке .
Ответ
Ответ. , .
Решение. Рассмотрим первое неравенство. Обозначим . График - парабола с ветвями вверх. На концах данного в условии промежутка имеем
Так как неравенство должно выполняться на всём промежутке, то точки и могут располагаться на прямой или ниже неё. Отсюда самое "низкое" расположение этой прямой (на указанном промежутке) есть прямая . Составляя её уравнение по двум точкам, имеем (назовём эту прямую ).
График правой части неравенства - "уголок" с вершиной в точке и ветвями, направленными вверх. Заметим, что точка лежит на прямой , поэтому любая прямая, расположенная выше , пересекает график на рассматриваемом промежутке, и правая часть неравенства выполняется не при всех .
Итак, - единственная возможная прямая, удовлетворяющая условию; следовательно, , .