Физтех 2022, 9 класс, задача 6
( баллов) Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами , удовлетворяющими системе
Ответ
Ответ. .
Решение. Рассмотрим первое неравенство системы. Если обозначить , , , то неравенство принимает вид
Это неравенство не выполнено тогда и только тогда, когда все три числа , , неотрицательны. Действительно, при всех , причём при выполняется равенство, а при - строгое неравенство.
Значит, первое неравенство системы не выполнено при , и . Эти три неравенства определяют треугольник с вершинами в точках , , .
Второе неравенство может быть записано в виде
оно задаёт круг радиуса с центром в точке . Заметим, что точка является серединой гипотенузы треугольника , а радиус круга равен половине гипотенузы. Это означает, что круг описан около треугольника .
Пересечением двух множеств является круг с центром радиуса с вырезанным из него треугольником . Площадь этой фигуры равна