Физтех 2021, 10 класс, задача 3
( баллов) На плоскости уравнением заданы координаты точки , а уравнением - парабола с вершиной в точке . Найдите все значения параметра , при которых точки и лежат по разные стороны от прямой (точки и не лежат на этой прямой).
Ответ
Ответ. .
Решение. Первое уравнение можно преобразовать так:
Отсюда получаем, что координаты точки удовлетворяют равенствам и , то есть , .
Так как второе уравнение задаёт параболу, то . При этом условии уравнение можно переписать в виде
Координаты точки следующие: , .
Обозначим . Точки и лежат по разные стороны от прямой тогда и только тогда, когда и есть числа разных знаков. Последнее равносильно неравенству
Имеем
Отсюда