Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10
Точки и — середины сторон и треугольника соответственно, а — точка пересечения перпендикуляра к , проходящего через точку , с перпендикуляром к , проходящим через точку . Найдите длину отрезка , если известно, что , а угол острый и .
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть — центр окружности, описанной около треугольника , а — её диаметр. Тогда как вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Следовательно, . Так как проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна его другой стороне, то — средняя линия, и точка — середина . Отметим также, что , , так как точки и — середины хорд и .
Получаем, что — прямоугольник, поэтому . По теореме синусов