ВсОШ 2023, муниципальный этап, 8 класс, задача 6
( баллов) Натуральное число таково, что значение выражения является точным квадратом.
(а) ( балла) Укажите любое возможное значение .
(б) ( балла) Чему может быть равно ? Укажите все возможные варианты.
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть для некоторого натурального . Тогда
Числа и имеют одинаковую чётность, поэтому они оба должны быть чётны. Поскольку , имеем лишь два возможных случая.
- Пусть и . Тогда и .
- Пусть и . Тогда и .
Легко проверить, что обе эти пары подходят под условие.