Всесиб 2022, 10 класс, задача 4
( баллов) Пусть для действительных чисел , , выполнено неравенство: . Доказать, что для них выполнено и неравенство .
Ответ
Доказательство. Прежде всего заметим, что при и выполнено неравенство . В силу симметрии далее можно считать, что .
) Докажем неравенство в случае, когда все переменные неотрицательны, то есть . Если при этом , то и неравенство доказано. Если , то - тоже доказано.
) Пусть теперь среди переменных есть отрицательные. Если их одна или три, то . Остался случай . Тогда , то есть первое неравенство из условия выполнено для тройки , , . С учётом того, что второе неравенство условия для неотрицательных значений переменных уже доказано, получаем: - оно выполнено и для рассматриваемой тройки .