Всесиб 2026, 11 класс, задача 2
( баллов) Пусть , , - бесконечная последовательность положительных действительных чисел таких, что и , . Докажите, что для всех натуральных .
Ответ
Доказательство. Индукция по . База индукции: при имеем - верно.
Шаг индукции. Пусть , тогда , отсюда положительный корень , нужно убедиться в том, что . Ввиду того, что, по предположению индукции , требуемое неравенство следует из более сильного . Последнее равносильно неравенству , которое, очевидно, верно.