Всесиб 2025, 11 класс, задача 2
( баллов) Доказать, что для всех положительных действительных чисел и выполнено неравенство: .
Ответ
Доказательство 1. Перепишем уравнение в виде: . Последнее неравенство для положительных и очевидно, выполнено.
Доказательство 2. Без ограничения общности считаем, что . Обозначим в левой части неравенства и рассмотрим функцию , . Её минимум достигается при и равен . При эта функция монотонно убывает, а при - монотонно возрастает. Значение этой функции равно при , . Теперь заметим, что и функция на интервале возрастает, поэтому , что и требовалось доказать.
Доказательство 3. Воспользуемся так называемым транс-неравенством. Оно в данном случае звучит так: если и , то . Предлагается при проверке, если транс-неравенство правильно сформулировано, не требовать его доказательства, хотя оно выглядит тут совсем несложно: .
Без ограничения общности считаем, что . Теперь положим , , тогда , что и требовалось доказать.