СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 3

( баллов) Для любого натурального числа докажите неравенство

(Как обычно, обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих . Например, .)

Ответ

Решение. Покажем, что

Для этого достаточно проверить неравенство . Для его доказательства разобьем все множители, составляющие , на пары и (здесь пробегает числа от до ) и заметим, что произведение чисел в каждой паре не превосходит . Действительно,

Просуммируем неравенства по от до и получим требуемое.

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 3

(20 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что числа ab и (a+1)(b+1) — являются квадратами некоторых натуральных чисел. Докажите, что для некоторого натурального числа n>1 число (a+n)(b+n) также является квадратом некоторого натурального числа.

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 1

(20 баллов) Дан квадратный трехчлен f(x)=2x²+ax+b с целыми коэффициентами, при любом вещественном x удовлетворяющий неравенству 20f(x)+19ge 0. Докажите, что 2f(x)+1ge 0 при любом вещественном x.

Сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 6

(20 баллов) На плоскости проведены 2n+1 синяя и n-1 красная прямая, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Докажите, что среди частей, на которые они разбивают плоскость, найдется не менее 4n+2 частей, ограниченных только синими прямыми.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 3

(20 баллов) На доске 2026 × 2026 расставлены ладьи так, что каждая клетка доски находится под боем хотя бы одной ладьи, но каждая ладья бьет не более 20 других ладей. Для какого наименьшего n можно утверждать, что в любом клетчатом квадрате n × n находится хотя бы одна ладья. Ладья - это шахматная ф

Сложная

Комбинаторика