СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 6
( баллов) На плоскости проведены синяя и красная прямая, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Докажите, что среди частей, на которые они разбивают плоскость, найдется не менее частей, ограниченных только синими прямыми.
Ответ
Решение. По индукции несложно проверить, что синяя прямая делит плоскость на частей. Каждая красная прямая пересекает не более области с синими границами. Поэтому после проведения первой красной прямой останется не менее областей с синими границами. Каждая последующая красная прямая портит не более синюю область. Действительно, она пересекает не более областей с синими границами, но область, в которой лежит точка ее пересечения с первой красной прямой, уже учтена, поэтому она портит не более новых синих областей. Следовательно, останутся нетронутыми не менее областей с синими границами.