СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 1
( баллов) Дан квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, при любом вещественном удовлетворяющий неравенству . Докажите, что при любом вещественном .
Ответ
Решение. Поскольку все коэффициенты трехчлена целые, он принимает в целых точках целые значения и эти значения не меньше чем . Поэтому значения трехчлена во всех целых точках неотрицательны. Следовательно, расстояние между его корнями не превосходит единицы, в противном случае между корнями нашлась хотя бы одна целая точка и значение в ней было бы отрицательным. Но расстояние между корнями равно , где - дискриминант трехчлена, т. е. . Стало быть, . Осталось заметить, что наименьшее значение трехчлена равно .