СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 3

( баллов) Натуральные числа и таковы, что числа и — являются квадратами некоторых натуральных чисел. Докажите, что для некоторого натурального числа число также является квадратом некоторого натурального числа.

Ответ

Решение. Возьмем , тогда

что есть произведение двух точных квадратов.

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 5

(20 баллов) Сумма положительных чисел a, b и c равна трем. Докажите неравенство (ab/√(c²+3))+(bc/√(a²+3))+(ca/√(b²+3))lefrac32.

Сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 6

(20 баллов) На плоскости проведены 2n+1 синяя и n-1 красная прямая, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Докажите, что среди частей, на которые они разбивают плоскость, найдется не менее 4n+2 частей, ограниченных только синими прямыми.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 1

(20 баллов) Дан квадратный трехчлен f(x)=2x²+ax+b с целыми коэффициентами, при любом вещественном x удовлетворяющий неравенству 20f(x)+19ge 0. Докажите, что 2f(x)+1ge 0 при любом вещественном x.

Сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) Точка M — середина катета AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом angle B. Биссектриса угла angle A пересекает описанную окружность треугольника в точке L. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из L на прямую AC. Найдите угол angle AMH.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика