СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7
( баллов) В остроугольном равнобедренном треугольнике () проведены высоты и , которые пересекаются в точке . Описанная окружность треугольника пересекает отрезок в точке . Докажите, что .
Ответ
Решение. Заметим, что высота из вершины также будет проходить через , т.к. высоты треугольника пересекаются в одной точке. Пусть — основание высоты из вершины .
Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам, т.к. угол в треугольнике равен углу в треугольнике как углы при основании равнобедренного треугольника .
Угол является смежным с углом , т.е. равен . А т.к. — вписанный четырехугольник, то . Следовательно, . А, как мы помним, из подобия треугольников и .