СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 4

( баллов) На сторонах и равнобедренного треугольника () нашлись точки и соответственно такие, что , . Найдите величину угла .

Ответ

Ответ: .

Чертёж к решению

Решение. Обозначим углы, как указано на рисунке. Угол является внешним для треугольника ; отсюда, . Углы и — углы при основании равнобедренного треугольника ; отсюда . Углы и — углы при основании равнобедренного треугольника ; отсюда . Подставим эти выражения в соотношение для угла :

Упрощая выражение, получаем, что , то есть .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17^circ. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На продолжении стороны AB параллелограмма ABCD за точку B отмечена точка K, а на продолжении стороны AD за точку D — точка L. Оказалось, что BK=DL. Отрезки BL и DK пересекаются в точке M. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90^circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90^circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.

Средняя

Планиметрия