СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 4

( баллов) Точка — середина гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника , — середина отрезка . Прямая пересекает описанную окружность треугольника в точке . Найдите площадь треугольника , если .

Ответ

Ответ: .

Чертёж к решению

Решение. Поскольку треугольник равнобедренный, то дуги и равны. Следовательно, равны опирающиеся на них углы и . Таким образом, — биссектриса угла . Отсюда получаем, что

(по условию — четверть отрезка ). Отметим, что треугольник — прямоугольный с гипотенузой . Обозначим через . Тогда

Отсюда и площадь треугольника равна

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.

Средняя

Теория чисел

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AD и CE, которые пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ACH пересекает отрезок BC в точке F. Докажите, что angle ABH=angle BFH. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 8-9 классы, задача 5

(30 баллов) На высоте BH остроугольного треугольника ABC нашлась такая точка L, что angle LAH=45^circ и AB=CL. Верно ли, что angle ACB=45^circ?

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC угол при основании AC равен 64^circ. Внутри angle BAC, но вне треугольника ABC отмечена точка K такая, что AK=BC. Внутри треугольника ABC отмечена точка Q такая, что AQ=QC и AQ — биссектриса угла BAK. Найдите величину угла angle AKQ. Чертёж к з

Средняя

Планиметрия