СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5

( баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник (угол равен градусов). Точки и — середины сторон и . Точка , лежащая в той же полуплоскости относительно прямой , что и точка , такова, что треугольник — равносторонний. Прямые и пересекаются в точке , прямые и — в точке . Докажите, что и перпендикулярны.

Чертёж к задаче

Ответ

Решение. — ортоцентр треугольника . Покажем это.

а) Поскольку средняя линия, параллельная катету равнобедренного прямоугольного треугольника, а треугольник равносторонний, то

Отсюда, треугольник — прямоугольный. Т. е. проходящая через прямая перпендикулярна проходящей через прямой .

б) Проходящая через прямая перпендикулярна проходящей через прямой как медиана прямого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике . Т. е. и — высоты в треугольнике , следовательно, тоже будет высотой и будет перпендикулярна .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 8

(30 баллов) Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, опущенные из вершин A и C, пересекаются в точке H, а также пересекают биссектрису угла ABC в точках F и G соответственно. Докажите, что треугольник FGH — равнобедренный. Два варианта расположения точек

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На продолжении стороны AB параллелограмма ABCD за точку B отмечена точка K, а на продолжении стороны AD за точку D — точка L. Оказалось, что BK=DL. Отрезки BL и DK пересекаются в точке M. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 8-9 классы, задача 5

(30 баллов) На высоте BH остроугольного треугольника ABC нашлась такая точка L, что angle LAH=45^circ и AB=CL. Верно ли, что angle ACB=45^circ?

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия