Сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2026, 10–11 классы

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 7

( баллов) Существует ли такое натуральное число , что число

является квадратом целого числа?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: нет.

Решение. Заметим, что

Число не является квадратом целого числа, так как даёт остаток при делении на . Следовательно, какое-то простое в его разложение входит в нечётной степени. С другой стороны, вторая скобка не делится на , так как число делится на (в есть множители и ). Значит, наше число содержит в нечётной степени, и не является квадратом целого числа.

1

Верное решение

40
Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске были записаны два примера на сложение чисел, но хулиган Вася стер в каждом примере одно из слагаемых, а также получившийся результат: 99+ldots=ldots 203+ldots=ldots Отличник Петя помнит, что стертое слагаемое было одинаковым для обоих примеров, а результатами являлись квадраты р
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Функции

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске написаны числа 12, 22, 32,..., 10002. Двое игроков по очереди стирают по одному из чисел на доске до тех пор, пока на доске не останется всего два числа. Если разность этих двух чисел делится на 13, то выигрывает второй игрок, иначе —
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 8

(40 баллов) В ячейках таблицы 19 × 19 расставлены натуральные числа. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних по стороне ячейках равна 29 или 30. Посчитаем сумму чисел в каждой строке и каждом столбце. Могут ли все эти 38 сумм быть попарно различны?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 11

(40 баллов) Найдите все пары рациональных чисел (a,b), для которых √a+√b=√(2+√3).
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Функции