СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 11

( баллов) Найдите все пары рациональных чисел , для которых .

Ответ

Ответ: и .

Решение. Возводя равенство в квадрат, получим . Перенесем в правую часть и снова возведем в квадрат. Получим . В этом выражении все слагаемые, кроме , рациональны, а значит и это слагаемое должно быть рационально. Что возможно только при .

Тогда имеем , . Такую систему уже несложно решить: , . Решая квадратное уравнение, находим обе пары решений.

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

(40 баллов) Петя задумал некоторое натуральное число. За один ход он может домножить его на любое рациональное число от 1/3 до 2. Докажите, что за несколько таких операций Петя сможет получить число 1001.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(40 баллов) Пусть k-значное число A=123ldots(k-1)k записано в системе счисления с основанием n<10, а k-значное число B=(k-1)(k-2)ldots10 записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел A и B такие, что A=B.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2026, отборочный этап, 8-9 классы, задача 7

(40 баллов) Каждое число, большее 100, покрашено в один из двух цветов — синий или красный. Известно, что произведение любых трёх (не обязательно различных) синих чисел — синее, а произведение любых трёх красных чисел — красное. Докажите, что или произведение любых двух красных чисел — красное, или

Сложная

Алгебра

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 11

(40 баллов) Назовём хвостом натурального числа любое число, которое получается из него отбрасыванием одной или нескольких первых цифр. Например, 234, 34 и 4 — хвосты числа 1234. Существует ли шестизначное число без нулей в десятичной записи, которое делится на каждый из своих хвостов?

Сложная

Теория чисел