Оригинальные задания олимпиады «Всероссийская олимпиада школьников» для 10 класса за 2025/26 учебный год. В выбранном комплекте: 8 задач и 2 файла для подготовки.
(7 баллов) Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых n членов равна 450. Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
(7 баллов) На множестве целых чисел ввели две операции: astar b=b2-a2, adiamond b=a-b+3. Найдите значение выражения ({ldots}((((1star2)diamond3)star4)diamond5)star{ldots})star2024.
(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z. Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC=22,
(7 баллов) Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a
(7 баллов) Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что AX=CD и angle BXD=angle CDA. Найдите BX, если известно, что AB=8, BC=10, CD=3.
(7 баллов) При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
(7 баллов) У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжа
