(7 баллов) Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами a, b, c, d, e, f так, чтобы число dfrac{a}{b+c}+dfrac{d}{e+f} было натуральным. (7 баллов) У Даши и у Саши есть по доске 9 × 9. Даша укладывает на свою доску 40 не перекрывающихся плиток 1 × 2 (так, что плитки занимают 80 клеток, а одна клетка остаётся не покрытой). Пусть у неё есть D способов сделать это. Саша красит на своей доске 41 единичных отрезков-границ между соседними (7 баллов) Периметр выпуклого пятиугольника ABCDE равен 2. Пусть Oa, Ob, Oc, Od, Oe — центры описанных окружностей треугольников EAB, ABC, BCD, CDE, DEA соответственно. Пусть Ma, Mb, Mc, Md, Me (7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n2? (7 баллов) В Средиземье 1000 графств, в одном из которых находится волшебное Кольцо. Раз в день Маг может выбрать любое подмножество графств и получить от волшебного Камня ответ, есть ли Кольцо в одном из этих графств. Камень может ошибиться, но никогда не ошибается два дня подряд. Маг может соверша (7 баллов) На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что п (7 баллов) На координатной плоскости проведена прямая ax+by+c=0, где a, b, c — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности x2+y2=1. Докажите, что если взять три отрезка с длинами a, b, c, то из них можно сложить прямоугольный треугольник. (7 баллов) В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей (возможно, ни одного) среди остальных. Дружба взаимна. Известно, что выполняется условие: если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возм (7 баллов) Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle BAC=60circ. Точки D и E симметричны его центру описанной окружности O относительно сторон AB и AC соответственно. Прямая DE пересекает отрезки AB и AC в точках F и G соответственно. Докажите, что описанные окру (7 баллов) Дан многочлен f третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент f равен 1 или -1. Известно, что f имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений |f(1)|, |f(2)|, |f(3)| и т. д. встретится квадр 
