(7 баллов) Существуют ли четыре попарно различных положительных числа a, b, c, d, при которых все четыре числа dfrac{a+b}{a-b}, dfrac{b+c}{b-c}, dfrac{c+d}{c-d}, dfrac{d+a}{d-a} — целые? (В. Шурыгин) (7 баллов) Вещественные числа x, y, z таковы, что 2x>y2+z2, 2y>z2+x2, 2z>x2+y2. Докажите, что каждое из чисел x, y, z меньше 1. (Н. Агаханов) (7 баллов) В каждой клетке доски 2 × 200 лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одно (7 баллов) Найдите все такие пары целых чисел m и n>2, что ((n-1)!-n) · (n-2)!=m(m-2). Напомним, что k!=1 · 2 · ldots · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k. (А. Кузнецов) (7 баллов) В треугольнике ABC с углом 100circ при вершине A медианы BK и CN пересекаются в точке M. Прямая, проходящая через точку M и параллельная BC, пересекает описанную окружность треугольника AKN в точках Q и P. Найдите сумму углов BQC и BPC. (К. Бельский) (7 баллов) Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Могло ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа? (А. К (7 баллов) На 2025 островах Северного Ледовитого океана живут несколько медведей. Каждый медведь иногда совершает заплыв, переплывая с одного острова на другой. Оказалось, что за год каждый медведь совершил хотя бы один заплыв, но никакие два медведя не сделали поровну заплывов. При этом между кажды (7 баллов) В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые AB и CD. Точки E и F — середины отрезков AC и BD соответственно. Докажите, что dfrac{AD+BC}{2}>BD-EF. (А. Кузнецов) (7 баллов) Саша выбрал 199 многочленов с вещественными коэффициентами так, что сумма любых ста из них имеет вещественный корень. Докажите, что сумма каких-то девяти из них также имеет вещественный корень. (А. Кузнецов) (7 баллов) Несколько карточек выложили в ряд слева направо, на каждой карточке написана буква русского алфавита. Назовём набор из 33 карточек идеальным, если на этих карточках выписаны все буквы в алфавитном порядке слева направо. Известно, что при любом выборе одной буквы L русского алфавита найдут 
