ВСОШ 2025, региональный этап, 11 класс, задача 4

( баллов) Найдите все такие пары целых чисел и , что . Напомним, что — произведение всех натуральных чисел от до .

(А. Кузнецов)

Ответ

Ответ. , .

Решение. Заметим, что

Пусть . Заметим, что числа и взаимно просты. Предположим, что это не так, и оба этих числа делятся на простое число . Тогда число

тоже делится на . Тогда делится на , а не кратно , противоречие. Таким образом, произведение взаимно простых чисел и — точный квадрат, тогда и каждое из них точный квадрат. Однако число при даёт остаток при делении на , поэтому оно точным квадратом быть не может.

Остаётся разобрать случаи . При получается , решений нет. При мы получаем: , что даёт единственное решение , .

Только ответ.

Потерян хотя бы один случай.

≤6

Получено равенство .

Доказано, что оба сомножителя в левой части являются квадратами (при ).

Доказано, что не существует решений при .

≥5

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Две бесконечные последовательности a₁,a₂,ldots и b₁,b₂,ldots натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число a_m-b_k делится на m-k. Обязательно ли a_n=b_n при всех натуральных n?

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 6

(7 баллов) На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что п

Очень сложная

Теория чисел

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 10

(7 баллов) Дан многочлен f третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент f равен 1 или -1. Известно, что f имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений |f(1)|, |f(2)|, |f(3)| и т. д. встретится квадр

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Существуют ли такие составные натуральные числа m>n>1, что у чисел m, n, m+n и m-n наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?

Очень сложная

Теория чисел