(7 баллов) У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 × 1, 1 × 2, 1 × 3, ldots, 1 × 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? (О. Подлипский) (7 баллов) Пусть x122024 — возрастающая последовательность натуральных чисел. При i=1,2,ldots,2024 обозначим pi=(x1-dfrac1{x1})(x2-dfrac1{x2})ldots(xi-dfrac1{xi}). Какое наибольшее количество натураль (7 баллов) По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной ещё не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее (7 баллов) На отрезке XY как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка Z на этом отрезке. Девять лучей из точки Z делят развёрнутый угол XZY на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках A1,A2,ldots,A9 соответственно (в порядке обхо (7 баллов) Уравнение t4+at3+bt2=(a+b)(2t-1) имеет положительные решения t1234. Докажите, что t1t4>t2t3. (М. Антипов) (7 баллов) У учителя есть 100 гирь массами 1 г, 2 г, ldots, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее: никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями, а также никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями. Сможе (7 баллов) График G1 квадратного трёхчлена y=px2+qx+r с вещественными коэффициентами пересекает график G2 квадратного трёхчлена y=x2 в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G2 пересекаются в точке C. Оказалось, что точка C лежит на (7 баллов) В пространстве расположены отрезки AA1, BB1 и CC1 с общей серединой M. Оказалось, что сфера ω, описанная около тетраэдра MA1B1C1, касается плоскости ABC в точке D. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника AB (7 баллов) Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовём множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одно (7 баллов) Дано натуральное число n>100. Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите, что Петя может добиться того, 
