ВСОШ 2024, региональный этап, 11 класс, задача 7
( баллов) График квадратного трёхчлена с вещественными коэффициентами пересекает график квадратного трёхчлена в точках и . Касательные в точках и к графику пересекаются в точке . Оказалось, что точка лежит на графике . Найдите все возможные значения .
(А. Терёшин)
Ответ
Ответ. .
Первое решение. Касательная в точке к графику имеет уравнение
Аналогично уравнение касательной в точке есть , откуда точка пересечения имеет координаты . Три точки , и принадлежат графику квадратного трёхчлена , поэтому
Сложим первые два равенства и вычтем удвоенное третье, получим
Так как , получаем, что .
Второе решение. Вычтем из обоих трёхчленов линейную функцию, график которой проходит через точки и . Обозначим полученные трёхчлены соответственно и (где у старший коэффициент равен , а у он равен ). Пусть абсциссы точек и равны соответственно и . Тогда , и касательные в точках и к графику трёхчлена пересекаются на графике . В самом деле, вычитание линейной функции сохраняет условия касания прямой и параболы в точке с заданной абсциссой, а также пересечения двух прямых и параболы в одной точке.
Обозначим через . Поскольку , график трёхчлена симметричен относительно прямой , поэтому касательные к этому графику в точках и пересекаются на оси симметрии. Пусть также точка пересечения касательных имеет координаты , а вершина параболы-графика имеет координаты .
Поскольку старший коэффициент трёхчлена равен , имеет место равенство , или , поскольку график есть парабола , перенесённая параллельно так, чтобы вершина попала в . По этой же причине угловые коэффициенты касательных в точках и есть ; значит, . Таким образом, если перенести параболы-графики и так, чтобы их вершины попали в , то ординаты точек с абсциссой на этих параболах будут соответственно и , из чего следует, что старший коэффициент у в раза больше, чем у .
Замечание. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, можно получить, что