(7 баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфа (7 баллов) Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2) численно равна периметру (измеренному в см)? (Д. Храмцов) (7 баллов) Дано натуральное число n. На клетчатой доске 2n × 2n расставили 2n ладей так, что никакие две не стоят в одной горизонтали или одной вертикали. После этого доску разрезали по линиям сетки на две связных части, симметричных друг другу относительно центра доски. Какое наибольшее количество (7 баллов) Даны натуральные числа a, b и c. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число abc+1 делится на ab-b+1. Докажите, что cge b. (М. Антипов) (7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность γ. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке S. Пусть точки M и N — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что перпендикуляр ell к прямой MN, восставленный (7 баллов) Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1,2,ldots,n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1=4Sm? (А. Кузнецов) (7 баллов) На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали dfrac{99 · 98}{2} чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть d — наибольшее число, записанное в тетрадке. (7 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB (7 баллов) Найдите наибольшее число m такое, что для любых положительных чисел a, b и c, сумма которых равна 1, выполнено неравенство √((ab/c+ab))+√((bc/a+bc))+√((ca/b+ca))ge m. (Л. Емельянов) (7 баллов) Куб 100 × 100 × 100 разбит на миллион единичных кубиков; в каждом кубике расположена лампочка. Три грани большого куба, имеющие общую вершину, окрашены: одна красным, другая синим, а третья зелёным. Назовём столбцом набор из 100 кубиков, образующих блок 1 × 1 × 100. У каждого из 30,000 ст 
