ВсОШ 2023, региональный этап, 9 класс, задача 8

Первое решение. Совершим гомотетию с центром и коэффициентом . При этой гомотетии точки и переходят в и соответственно; пусть точки и переходят соответственно в и (см. рис. ). Тогда достаточно доказать, что четырёхугольник описан. Мы докажем, что он описан около вписанной окружности треугольника . Три стороны четырёхугольника уже касаются , поэтому достаточно доказать, что её касается .

Пусть — центр . Тогда , поэтому и симметричны относительно . Далее заметим, что . Но — медиана в прямоугольном треугольнике , поэтому . Значит, . Значит, и прямые и также симметричны относительно ; поскольку одна из них касается , то и другая тоже. Это и требовалось доказать.

Замечание. У решения выше есть несколько вариаций. Например, похожими рассуждениями можно показать, что в четырёхугольнике биссектрисы трёх углов , и проходят через одну точку — середину отрезка . Отсюда следует, что эта середина — центр искомой вписанной окружности.

Второе решение. Пусть прямая пересекает прямую в точке (см. рис. ). Как и в решении выше, получаем, что , откуда .

Мы докажем, что окружности, вписанные в треугольники и , совпадают (тогда это и будет вписанная окружность четырёхугольника ). Поскольку обе окружности вписаны в угол , для этого достаточно доказать, что они касаются прямой в одной и той же точке. Как известно, расстояния от до точек касания этих окружностей с равны соответственно и . Значит, нам надо доказать, что , или что .

Обозначим полупериметр треугольника через , и пусть , , . Имеем . С другой стороны, , откуда и следует искомое равенство.

Замечание. Во втором абзаце решения по сути доказан следующий известный признак: четырёхугольник описан тогда и только тогда, когда (где и — точки пересечения продолжений боковых сторон, расположенные как на рисунке).