На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем k это возм Пусть n - натуральное число. Целое число a>2 назовем n-разложимым, если an-2n делится на каждое число вида ad+2d, где d - натуральный делитель n, отличный от n. Найдите все составные натуральные n, для которых существует n-разложимое число. (С. Кудря) На прямой отмечено n+1 различных отрезков; одна из точек прямой принадлежит всем этим отрезкам. Докажите, что среди отмеченных отрезков можно выбрать различные отрезки I и J, пересекающиеся по отрезку длины, не меньшей (n-1/n) d, где d - длина отрезка I. (И. Богданов, В. Уфнаровский) На стороне AB остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC за точку C - точка E. Оказалось, что прямая, проходящая через E и параллельная AB, касается окружности, описанной около треугольника ADC. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки E к описанной Числа b>0 и a таковы, что квадратный трехчлен x2+ax+b имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на отрезке [-1;1]. Докажите, что ровно один из этих корней лежит в интервале (-b;b). (А. Храбров) Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника ABC, в котором angle ABC=60circ, отмечена точка T так, что angle ATB=angle BTC=angle ATC=120circ. Медианы треугольника пересекаются в точке M. Прямая TM пересекает вторично окружность, описанную около треугольника ATC, в точк Натуральные числа n>20 и k>1 таковы, что n делится на k2. Докажите, что найдутся натуральные числа a,b и c такие, что n=ab+bc+ca. (А. Храбров) Сотне мудрецов предложили следующее испытание. Их по очереди (в заранее известном порядке) приводят в зал. В зале смотритель предлагает мудрецу на выбор каких-то два различных числа из набора 1,2,3. Мудрец выбирает ровно одно из них, сообщает выбранное число смотрителю и уходит из зала. При этом до 
