ВсОШ 2021, 9 класс, задача 2
Пусть - натуральное число. Целое число назовем -разложимым, если делится на каждое число вида , где - натуральный делитель , отличный от . Найдите все составные натуральные , для которых существует -разложимое число.
(С. Кудря)
Ответ
Ответ.
при .
Решение.
Для любое натуральное является -разложимым в силу равенства
Действительно, среди сомножителей в правой части присутствуют все числа вида , где - делитель , меньший .
Пусть теперь не является степенью двойки, тогда у него есть нечетный простой делитель и , где - натуральное число. Предположим, что существует -разложимое число . Тогда делится на . Кроме того, делится на , поскольку нечетно. Следовательно, также делится на . Таким образом, число является делителем степени двойки и, значит, само является степенью двойки.
В частности, отсюда следует, что четно, то есть для некоторого натурального . Тогда также является степенью двойки и, значит, нечетно. Если четно, то число дает остаток при делении на , и при этом это число больше , что невозможно. Стало быть, нечетно. Но тогда число
не может быть степенью двойки, поскольку вторая скобка нечетна и больше единицы. Значит, -разложимого числа не существует.