ВсОШ 2021, 9 класс, задача 5
Числа и таковы, что квадратный трехчлен имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на отрезке . Докажите, что ровно один из этих корней лежит в интервале .
(А. Храбров)
Ответ
Первое решение.
Пусть . Если ровно один корень лежит на отрезке , то трехчлен меняет знак на этом отрезке, то есть . Тогда . Следовательно, на отрезке есть корень, причем, если знак полученного неравенства строгий, то корень ровно один (и он не в конце отрезка). В случае равенства один из корней равен , а второй , причем (иначе на отрезке будет два корня). Тогда на интервале лежит ровно один корень.
Второе решение.
Пусть и - корни данного трехчлена, причем и . По теореме Виета имеем . Тогда и . Итак, из двух корней только лежит в интервале .