Задания Олимпиады школьников СПбГУ — 10 класс — 2025/26
Оригинальные задания олимпиады «Олимпиады школьников СПбГУ» для 10 класса за 2025/26 учебный год. В выбранном комплекте: 8 задач и 2 файла для подготовки.
(10 баллов) Даны две арифметические прогрессии: 4, 7, ldots, 2623 и 8, 12, ldots, 3500. Сколько чисел встречается одновременно в обеих этих прогрессиях?
(10 баллов) Вася правильно решал задачу «В невырожденном треугольнике ABC стороны AB=4, BC=3. Найдите сумму всех целочисленных значений, которые может принимать площадь треугольника ABC», но при вычислении суммы упорядоченных по возрастанию чисел (возможных значений площади треугольника) вместо ровн
(20 баллов) Для действительных чисел x и y>0 обозначим через x%y число x-y · [x/y]. Отметим на отрезке [-250;366] все x, являющиеся решением уравнения [x%frac72]=[x]%frac72. Найдите сумму длин всех отмеченных промежутков. Как обычно, через [a] обозначена целая часть числа a, т. е. наибольшее целое ч
(20 баллов) Биологический кружок посещают несколько учеников. Они определяют численность птиц, обитающих в окрестностях школы. Во дворе школы живет стая воробьев (не более 1000 особей). Ежедневно каждый из учеников кружка подсчитывает количество воробьев (любой ученик при любом подсчете учитывает лю
(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.
(30 баллов) Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку C; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Продолжение медианы из точки M треугольника BMI пересекает сторону BC в точке D. Верно ли, что IDparallel AB?
(40 баллов) В ячейках таблицы 19 × 19 расставлены натуральные числа. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних по стороне ячейках равна 29 или 30. Посчитаем сумму чисел в каждой строке и каждом столбце. Могут ли все эти 38 сумм быть попарно различны?
