СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 3
( баллов) Для действительных чисел и обозначим через число . Отметим на отрезке все , являющиеся решением уравнения
Найдите сумму длин всех отмеченных промежутков. Как обычно, через обозначена целая часть числа , т. е. наибольшее целое число, не превосходящее .
Ответ
Ответ: .
Решение. Преобразуем в соответствии с определением левую часть уравнения:
Вспомним, что , , . Заметим, что есть растяжение вдоль оси абсцисс с коэффициентом и растяжение вдоль оси ординат с коэффициентом функции . Таким образом,
Следовательно,
Это периодическая функция с периодом . Отсюда получаем, что
Аналогично преобразуя правую часть исходного уравнения, получаем, что
Легко видеть, что левая и правая части уравнения совпадают на промежутке , повторяющимся с периодом . Теперь заметим, что
Промежуток состоит из полных периодов; промежуток — из полного периода без начала длины ; промежуток — только из начала длины . Таким образом, суммарная длина промежутков, являющихся решениями уравнения, составляет