Задания Олимпиады школьников СПбГУ — 9 класс — 2024/25
Оригинальные задания олимпиады «Олимпиады школьников СПбГУ» для 9 класса за 2024/25 учебный год. В выбранном комплекте: 10 задач и 2 файла для подготовки.
(10 баллов) Последовательность (xn) задана соотношением: x0=0,qquad xn=(1/2-xn-1) для каждого натурального n. Чему равно x1 · x2 · ldots · x2023? а) 1 б) 2023 в) (1/2023) г) (1/2024) д) другой ответ
(10 баллов) 20 человек писали тест, результат которого — некоторое натуральное число. Известно, что Саша набрал на 98 баллов больше, чем средний балл остальных участников. А на сколько больше набрал Саша по сравнению со средним баллом всех участников? а) 98; б) 4,9; в) 93,1; г) 22,3; д) другой ответ
(20 баллов) Жора выписал на доску все натуральные числа k>1, не превосходящие 20, для которых верно следующее утверждение: «Если клетчатый прямоугольник можно разрезать по клеткам на k равных (по форме) частей, то этот же прямоугольник можно разрезать по клеткам и на меньшее k (но большее 1) количес
(20 баллов) На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2042. За один ход можно дописать на доску квадрат какого-то числа на доске, либо НОК двух чисел на ней. Какое наименьшее составное число нельзя записать на доску?
(30 баллов) Медиана CM прямоугольного треугольника ABC (angle C=90circ) пересекает вписанную окружность в точках P и Q. Известно, что CP=MQ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 60circ. Чертёж к задаче
(30 баллов) В параллелограмме PQRS точка N — середина стороны RS. На стороне PS нашлась точка T такая, что angle PTN=angle QNT. Известно, что PT=5, а TS=3. Найдите длину отрезка QN. Чертёж к задаче
(30 баллов) В равнобокой трапеции ABCD (сторона BC параллельна стороне AD) известно, что angle ACD=111circ и BC+CD=AD. Найдите величину угла angle BDA.
(40 баллов) По кругу стоят 20 человечков, каждый из которых или зелёный, или красный. Каждый красный человечек всегда говорит правду, а каждый зелёный человечек врёт. Назовём двух человечков, между которыми стоят не более двух человечков, близкими; т. е. у каждого человечка ровно 6 близких. Каждый ч
(40 баллов) В вершинах правильного 100-угольника расположены целые числа, сумма которых равна 2025. Два игрока по очереди берут себе по одному числу. Первый игрок начинает, выбирая любое число. Со второго хода разрешается брать числа только из вершин, соседних с теми, откуда уже были взяты числа. По
(40 баллов) Саша должен был сложить несколько натуральных чисел и получить 2024. Однако Саша, по непонятным причинам, или извлёк из числа квадратный корень (если при этом получалось целое число), или возвёл число в квадрат, и только потом сложил. Могло ли у Саши получится 2025?
