СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 8

( баллов) По кругу стоят человечков, каждый из которых или зелёный, или красный. Каждый красный человечек всегда говорит правду, а каждый зелёный человечек врёт. Назовём двух человечков, между которыми стоят не более двух человечков, близкими; т. е. у каждого человечка ровно близких. Каждый человечек заявил: «Среди моих близких хотя бы зелёных человечка». Какое наибольшее количество зелёных человечков может быть?

Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что так как зелёный человечек всегда врёт, то на самом деле у него не более одного близкого зелёного человечка. Теперь заметим, что среди любых пяти подряд стоящих человечков может быть не более двух зелёных человечков. Если их было бы три или больше, то у не крайних зелёных человечков среди их близких было бы не меньше двух зелёных, что противоречит первому замечанию. Таким образом, разбивая стоящих по кругу человечков на непересекающиеся пятёрки, получаем, что всего может быть не более зелёных человечков.

Пример расположения человечков, на котором достигается полученная оценка:

З-З-К-К-К-З-З-К-К-К-З-З-К-К-К-З-З-К-К-К

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 13

(40 баллов) В лагерь приехали 90 школьников. Известно, что среди любых 10 школьников обязательно найдутся два друга. Скажем, что группа школьников образует цепочку дружб, если детей в группе можно занумеровать числами от 1 до k так, что 1-й и 2-й — друзья, 2-й и 3-й — друзья, ldots, (k-1)-й и k-й —

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 8

(40 баллов) В ячейках таблицы 19 × 19 расставлены натуральные числа. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних по стороне ячейках равна 29 или 30. Посчитаем сумму чисел в каждой строке и каждом столбце. Могут ли все эти 38 сумм быть попарно различны?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 8

(40 баллов) В начале каждого урока физкультуры 30 школьников разбиваются на 3 команды по 10 человек в каждой. Докажите, что найдутся два школьника, которые были в одной команде три урока подряд.

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске написаны числа 1², 2², 3²,..., 1000². Двое игроков по очереди стирают по одному из чисел на доске до тех пор, пока на доске не останется всего два числа. Если разность этих двух чисел делится на 13, то выигрывает второй игрок, иначе —

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика