Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» за 2020/21 учебный год. В выбранном комплекте: 6 задач и 2 файла для подготовки.
(5 баллов) Число S - сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии a1, a2, a3, ldots, состоящей из целых чисел. Известно, что a6a12>S+1, a7a111.
(5 баллов) Рассмотрим всевозможные тетраэдры ABCD, в которых AB=2, AC=CB=5, AD=DB=6. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро CD было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра - наименьший из получ
(7 баллов) Пусть M - фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек (x;y) таких, что существует пара вещественных чисел a, b, при которых выполняется система неравенств Найдите площадь фигуры M.
(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треуголь
