Гантель в магнитном поле
В аксиально-симметричном магнитном поле находится гантель — лёгкий непроводящий стержень с заряженными шариками на концах. Массы и заряды шариков одинаковы и равны и . Гантель перпендикулярна оси симметрии (оси ), а её центр находится на этой оси (см. рис.). Проекция магнитного поля на радиальное (перпендикулярное оси) направление на расстоянии, равном радиусу гантели, везде одинакова и равна . Осевая компонента поля изменяется вдоль оси. В момент времени гантели сообщают скорость вдоль оси . Силу тяжести не учитывайте.
- На какое наибольшее расстояние от начального положения удаляется центр гантели?
- Чему равна максимальная окружная (перпендикулярная оси симметрии) скорость вращения шариков гантели в процессе движения?
- Через какое время после угловая скорость вращения гантели окажется наибольшей?
Ответ
Возможное решение.
Вызываемые осевой проекцией магнитного поля силы направлены вдоль стержня, равны по величине и противоположно направлены и не сказываются на движении гантели.
В начальный момент силы, связанные с радиальной проекцией магнитного поля, оказываются тангенциальными, то есть перпендикулярными оси и радиальному направлению. Это приводит к росту угловой скорости вращения вокруг оси симметрии, но при этом нет сил, смещающих центр гантели поперёк оси или вызывающих поворот плоскости вращения.
При скорости шариков вдоль оси и окружной скорости возникающие из-за радиальной проекции магнитного поля силы перпендикулярны скорости шариков и имеют осевую составляющую
и тангенциальную (окружную) составляющую
Соответственно,
Пока не уменьшится до нуля, окружная и угловая скорости растут. Поскольку работа магнитной силы равна нулю, кинетическая энергия остаётся неизменной:
Следовательно, максимальная окружная скорость равна
При смещении центра гантели на от начальной точки
откуда
Для максимального смещения имеем:
После подстановки в выражение получим уравнение гармонических колебаний:
Круговая частота колебаний
а период
Первый раз от момента начала движения максимальная скорость вращения будет достигнута через четверть периода:
Затем максимальное значение скорости вращения будет достигаться через каждые полпериода. Таким образом, для моментов времени, в которые достигается максимальная скорость вращения, справедлива формула
Ответ: , , , где — натуральное число.