Наклонная плоскость
Точечное тело движется по гладкой наклонной плоскости, удерживаемое невесомым жёстким стержнем длиной , один конец которого закреплён в точке . В начальный момент телу сообщают скорость вдоль наклонной плоскости так, что оно начинает двигаться по окружности радиуса .
- Найдите скорость , которую надо сообщить телу, чтобы оно совершило полный оборот и оказалось в верхней точке траектории с нулевой скоростью.
- Найдите скорость , которую надо сообщить телу, чтобы его скорость в дальнейшем впервые достигла минимума.
Угол наклонной плоскости к горизонту равен , коэффициент трения скольжения тела о плоскость .
Ответ
Решение.
Так как стержень жёсткий и изначальная скорость сообщена вдоль наклонной плоскости, то тело будет двигаться по окружности радиуса .
При движении на груз действуют четыре силы: потенциальная сила тяжести и непотенциальные силы трения и реакции опоры со стороны стержня и плоскости. Сила реакции со стороны стержня, как и сила реакции со стороны плоскости, в любой момент времени направлены перпендикулярно скорости, поэтому их работа равна нулю. Сила трения постоянна по модулю и в любой момент направлена против скорости, поэтому работа силы трения будет равна , где — длина пути, пройденного телом.
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную плоскости:
Так как тело скользит, на него действует сила трения скольжения, равная
Пусть скорость груза в верхней точке равна . Запишем связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения:
Скорость будет равна
Рассмотрим в произвольный момент времени проекции сил, действующих на груз, на ось, сонаправленную скорости. Не нулевыми на эту ось будут только проекции силы тяжести и силы трения. Пока груз движется от нижней точки к самой верхней, обе проекции будут отрицательными, значит модуль скорости груза будет уменьшаться. В процессе дальнейшего движения проекция силы тяжести станет положительной и будет постепенно возрастать от нулевого значения, значит скорость тела первое время продолжит уменьшаться и достигнет минимума в точке, когда проекция силы тяжести скомпенсирует проекцию силы трения:
где — угол между стержнем и «вертикалью», то есть прямой, проходящей через верхнюю точку траектории груза и шарнир. Отсюда получим, что
Так как работа силы трения и изменение потенциальной энергии при перемещении в фиксированное положение не зависят от величины начальной скорости, то минимальному значению скорости на старте соответствует нулевое значение минимальной скорости в процессе дальнейшего движения. Запишем опять связь между изменением механической энергии тела и работой силы трения:
Тогда
откуда