Раскрутка трением
Два одинаковых диска с радиусами насажены на параллельные вертикальные оси, на которых они могут вращаться без трения.
Расстояние между осями чуть больше , так что между боковыми поверхностями дисков остаётся небольшой зазор. Верхние основания дисков лежат в одной горизонтальной плоскости. Цилиндрический валик радиуса , длины может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, плоскость которой лежит в одной плоскости с осями дисков. Сам валик располагается между осями дисков и прижимается к верхним основаниям дисков с одинаковыми силами. Линия касания валика и дисков совпадает с радиусами дисков. Один из дисков вращается с помощью электродвигателя с постоянной угловой скоростью и приводит во вращение из-за трения между соприкасающимися поверхностями валик, который в свою очередь раскручивает второй диск.
- Определите установившуюся скорость вращения второго диска. Примечание. При вращении твёрдого тела с постоянной угловой скоростью сумма моментов внешних сил относительно оси вращения равна нулю.
Ответ
Рассмотрим момент времени, когда валик и правый диск вращаются с постоянными угловыми скоростями и соответственно. Введём ось , направленную вдоль оси симметрии валика влево, с началом в центре его правого основания. Сила трения, действующая на правый диск, меняет своё направление в некоторой точке с координатой . На участке с координатой от до скорость точек валика больше, чем скорость точек диска , значит сила трения на этом участке направлена по скорости точек валика («от нас»). Аналогично можно показать, что на участке с координатой от до сила трения направлена против скорости точек валика («на нас»).
Сила трения, действующая на участке длиной , равна , где — сила трения, приходящаяся на единицу длины. Равнодействующая такой равномерно распределённой силы приложена к середине указанного отрезка. С учётом того, что суммарный момент внешней силы трения, действующей на правый диск, равен нулю, получаем:
.
Откуда .
Сила трения, действующая на валик со стороны левого диска, меняет своё направление в некоторой точке с координатой . Плечо этой силы равно , а так как валик равномерно вращается, то суммарный момент силы трения, действующей на валик относительно оси вращения, также равен нулю, а значит:
.
Откуда .
В точках с координатами и , где сила трения меняет направление, скорости точек дисков равны скорости точек валика . Скорость точки правого диска с координатой равна . Скорость точки левого диска с координатой равна . С учётом этого
,
или .