Тянем-потянем
Гладкий тонкий стержень согнут под прямым углом и зафиксирован в горизонтальной плоскости.
По одной его стороне может перемещаться небольшая втулка массой , по другой лёгкое маленькое колечко. К вершине прямого угла прикреплён один конец невесомой нерастяжимой нити длиной . Нить продета через кольцо, и другой конец нити привязан к втулке. — это угол между направлением от кольца к вершине прямого угла и направлением от кольца к втулке (см. рисунок). Колечко перемещают из вершины прямого угла с постоянной скоростью . Трение отсутствует. В процессе всего движения нить натянута.
-
Определите скорость движения втулки в начальный момент времени, когда колечко движется вблизи вершины прямого угла.
-
Как зависит скорость движения втулки от угла ?
-
Чтобы колечко двигалось с постоянной скоростью , к нему прикладывают силу , направленную вдоль стержня. Как зависит сила от угла ?
Ответ
За небольшое время колечко пройдет расстояние , оставив позади себя кусочек нити длиной .
Такой же по длине кусочек нити должен освободиться из-за приближения втулки к колечку. Значит, , и: . Ответ на второй вопрос можно получить разными способами.
Способ 1. Перейдем в систему отсчета, связанную с колечком. В этой СО колечко неподвижно, а у втулки появляется составляющая скорости, перпендикулярная стержню (см. рисунок). При этом относительно точки , выбранной вблизи колечка, втулка движется по окружности. Проекции скоростей втулки и точки на направление участка нити между втулкой и кольцом должны компенсировать друг друга так, чтобы длина этого участка оставалась постоянной. Точка движется со скоростью , поэтому: .
Способ 2. Пусть расстояния от вершины прямого угла до колечка и до втулки равны соответственно и . Тогда запишем полную длину нити следующим образом: . Возьмём производную по времени: . Отсюда , или . Так как и , получим: .
Способ 3. Рассмотрим маленький промежуток времени . Колечко прошло расстояние , а втулка . Проецируя эти перемещения на отрезок, соединяющий колечко с ниткой, получим маленькое изменение длины куска нити между ними: . Кусок нити между вершиной прямого угла и колечком увеличился на . Так как полная длина нити не меняется: . Откуда: . Ответ на третий вопрос можно получить разными способами.
Способ 1. Скорость втулки при её движении по окружности относительно точки равна . Нормальная компонента ускорения: , где — длина участка нити между втулкой и точкой . Полное ускорение втулки направлено вдоль стержня, а является его проекцией на нить. Поэтому .
Способ 2. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте связью и : . Возьмём производную по времени от этого выражения: . Так как нить нерастяжима: , откуда . Тогда: . Далее , откуда . Сила , прикладываемая к колечку, равна сумме проекций двух сил натяжения на стержень: .