Шайбами по барабану
На гладкой горизонтальной поверхности лежит большой твёрдый цилиндрический барабан массой и радиусом . Две одинаковые маленькие, но тяжёлые шайбы массами скользят по поверхности с одинаковыми неизвестными скоростями вдоль одной прямой, пересекающей барабан. Расстояние между точками пересечения этой прямой с боковой поверхностью барабана равно . Шайба сталкивается с барабаном на мгновение раньше, чем с ним столкнулась бы шайба , если бы не было столкновения с шайбой . Если расстояние равно , то после всех соударений шайб с барабаном скорость последнего оказалась равной .
Считайте известным, что во всех случаях шайбы друг с другом не сталкиваются. Трения между шайбами и барабаном нет, барабан никогда не отрывается от поверхности, а все их столкновения являются упругими и настолько быстрыми, что барабан никогда не контактирует с обеими шайбами одновременно.
1. Определите величину скорости налетавших шайб.
2. Чему будет равна скорость барабана , если расстояние изменить до значения ?
Ответ
Решение.
Определим скорость барабана после соударения с шайбой . Поскольку трения между шайбами и барабаном нет, все их удары центральные, движение всех тел остаётся поступательным, а проекции скоростей тел на ось, перпендикулярную линии центров, остаются постоянными в процессе соударения.
Введём вдоль линии центров ось , направленную от шайбы к центру барабана. Пусть — угол между вектором скорости шайбы и линией центров. Запишем систему из закона сохранения импульса в проекции на ось и закона сохранения энергии:
Решая записанную систему уравнений, находим:
Получим условие, при котором будет столкновение между шайбой и барабаном. Если ввести ось , направленную от шайбы к центру барабана, то условие столкновения можно записать как отрицательность проекции скорости барабана относительно шайбы на ось .
После преобразования это условие принимает вид:
или, с учётом геометрии рисунка,
При данное условие не выполнено, поэтому столкновения между барабаном и шайбой не будет. Значит, скорость барабана после всех соударений равна . Для получаем:
Таким образом,
При столкновение между барабаном и шайбой будет, при этом . В системе отсчёта, движущейся со скоростью , соударение сводится к рассмотренному ранее. В указанной системе отсчёта проекция скорости шайбы на ось равняется:
В этой системе отсчёта скорость барабана сразу после второго соударения равна:
Возвращаясь в исходную систему отсчёта и учитывая направление скоростей, для скорости получаем: