Высшая проба 2024, 10 класс, задача 3
( баллов) В треугольнике точка — центр вписанной окружности, точки и — основания биссектрис и соответственно. Прямая пересекает описанную около треугольника окружность в точке . Докажите, что ортоцентр треугольника равноудалён от точек и .
Ответ
Решение.
Обозначим через и центр описанной окружности треугольника и ортоцентр треугольника соответственно. Заметим, что нам достаточно показать, что , так как перпендикуляр из центра на хорду является серединным перпендикуляром к ней.
Для начала покажем, что точки , , и лежат на одной окружности, а именно на окружности , симметричной описанной окружности треугольника относительно прямой . То, что на этой окружности лежит ортоцентр, хорошо известно.
Поскольку , точки и находятся в разных полуплоскостях относительно прямой , а значит, точки и находятся в одной полуплоскости относительно этой прямой. Тогда
потому .
Далее, если точки и лежат в разных полуплоскостях относительно , то
Потому, так как , получаем .
Если же точки и лежат в одной полуплоскости относительно , то аналогичным образом докажем, что , и также получим, что .
Таким образом, мы доказали, что если точки и различны, то прямая является серединным перпендикуляром к , а значит, . Если же точки и совпадают, то также равноудалена от точек и , поскольку является центром окружности, на которой они лежат