Высшая проба 2021, 7 класс, задача 3
( баллов) В прямоугольном треугольнике проведены биссектрисы и , пересекающиеся в точке . Прямая, делящая на две равные части угол , отсекает от исходного треугольника равнобедренный. Найдите острые углы треугольника .
Ответ
Ответ: , , .
Решение:
Случай : проведены биссектрисы двух острых углов.
Пусть биссектриса угла пересекает катет в точке , катет в точке и .
Тогда , .
Отсекается треугольник , в котором есть прямой угол если он равнобедренный,
искомые углы .
Случай : проведена биссектриса острого угла и прямого угла .
Пусть биссектриса угла пересекает катет в точке , катет в точке и .
Тогда , .
Итак, углы отсечённого треугольника составляют , и .
Среди них есть два одинаковых.
Углы и не могут быть равны.
Два других равенства приводят к и , то есть к ответам , $\left(\frac{270\circ}{7},\frac{360\circ}{7}\right)