Высшая проба 2024, 9 класс, задача 5
( баллов) Окружности и с центрами и касаются внешним образом в точке . На и выбраны точки и соответственно такие, что отрезки и касаются окружностей и пересекаются в точке . Докажите, что углы и равны.
Ответ
Заметим, что четырёхугольник вписанный, причём коэффициент подобия треугольников и равен , где и радиусы окружностей и соответственно. Следовательно, , значит, — биссектриса треугольника . Обозначим угол через и через , тогда , , , , . Пусть , , тогда так как углы и равны, получаем, что . Наконец заметим, что из подсчёта углов при вершине . Из полученной системы уравнений находим требуемое: .