Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 2
( баллов) В треугольнике точки , , - середины сторон , , соответственно. Точки , , - середины ломаных , , соответственно (точка называется серединой ломаной, если принадлежит ломаной и делит ее на две ломаных равной длины). Докажите, что прямые , , проходят через одну точку.
Ответ
Решение. Общая преамбула ко всем трем решениям. Пусть стороны треугольника , , . Не умаляя общности, . Тогда лежит на отрезке , причем . Точка лежит на отрезке , причем . Точка лежит на отрезке , причем .
Решение . Заметим, что условие задачи не симметрично. Исправим это. Найдем, где на прямой лежит точка - пересечение с прямых и . Обозначим отрезок , положительное направление в сторону, противоположную точке . Тогда т. Менелая для точек , , в треугольнике гласит:
После стандартных преобразований получаем . Поскольку , прямая перпендикулярна внешней биссектрисе угла , то есть параллельна внутренней. Следовательно, она является биссектрисой угла . Аналогично, прямые и - биссектрисы углов треугольника и значит все три прямые пересекаются в центре вписанной окружности треугольника .
Решение . Назовём вневписанные окружности, касающиеся отрезков , и , , , соответственно. Заметим, что точка - середина отрезка между точками касания с отрезком и с продолжением луча за точку . Точка - середина отрезка между точками касания с продолжением луча за и с продолжением луча за . Значит, - радикальная ось окружностей и . Аналогично, получаем, что прямые - радикальная ось , , - радикальная ось , . Значит прямые , , пересекаются в одной точке - радикальном центре окружностей , , .
Решение . Посчитаем, в каком отношении отрезки и делят отрезок . Применим теорему Менелая для треугольника и секущей . Получим
где - точка пересечения и , здесь и далее длины всех отрезков на прямых , , считаются комбинированием формул из преамбулы. Итак, . Теперь пусть - точка пересечения и . Треугольники и подобны ( - средняя линия в треугольнике ), . Значит, , ч. т. д