Высшая проба 2023, 10 класс, задача 2

( баллов) Дан вписанный четырёхугольник , в котором . На стороне нашлась точка такая, что = . Докажите, что .

Ответ

Решение. На продолжении отрезка за точку отметим точку такую, что (рис. ).

Рис. к решению задачи

Заметим, что треугольники и равны по условию, по построению, из вписанности четырёхугольника ). Следовательно, и . Теперь заметим, что равны прямоугольные треугольники и (у них равны катеты и , а гипотенуза — общая). Следовательно, , что и требовалось.

Используется наибольший подходящий критерий.

15 б. Приведено любое полное решение задачи.

3 б. Рассмотрена точкаиз решения (т. е. точка на продолжении отрезказа точкус условием=), либо та же точка, построенная другим корректным способом (например, как проекция точкина луч).

Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 6

(20 баллов) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что AH2 = BH2 + CH2. На описанной окружности треугольника ABC нашлись точки D и E такие, что CE ∥ AB и BD ∥ AC. Докажите, что точка H лежит на прямой DE.

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2020, 11 класс, задача 4

(20 баллов) Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AHperp PQ тогда и только тогда, когда точки P,Q,M,N лежат на одной окружности.

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 11 класс, задача 4

(15 баллов) В окружность ω вписан треугольник ABC такой, что AB < BC. Биссектриса внешнего угла B пересекает ω в точке M. Прямая, параллельная BM, пересекает стороны BC, AB и продолжение стороны CA за точку A в точках P, Q и R соответственно. Прямая MR вторично пересекает ω в точке X. Докажите, что

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 6

(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины

Очень сложная

Планиметрия