Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2023, 8–9 классы

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 6

( баллов) Маша отмечает на стороне квадрата точку и находит длину отрезка . Миша проводит биссектрису угла , отмечает точку пересечения этой биссектрисы и стороны квадрата и находит сумму длин отрезков и . Может ли Маша выбрать точку так, чтобы найденная ею длина отрезка оказалась больше, чем результат у Миши?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Не может, их результаты всегда равны.

Чертёж к решению

Решение. На продолжении стороны квадрата за точку отложим отрезок , равный отрезку . Сравним длины отрезков (результат Маши) и (результат Миши). Треугольники и равны по двум катетам. Обозначим

Выразим углы треугольника :

следовательно, треугольник — равнобедренный и .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 5

(30 баллов) Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на отрезки длины 1, 24 и 3 (при этом 24 — длина хорды окружности). Чему равна площадь треугольника?
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 2

(10 баллов) Вася правильно решал задачу «В невырожденном треугольнике ABC стороны AB=4, BC=3. Найдите сумму всех целочисленных значений, которые может принимать площадь треугольника ABC», но при вычислении суммы упорядоченных по возрастанию чисел (возможных значений площади треугольника) вместо ровн
Средняя
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5

(30 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (угол B равен 90 градусов). Точки D и E — середины сторон AB и AC. Точка F, лежащая в той же полуплоскости относительно прямой DE, что и точка A, такова, что треугольник DEF — равносторонний. Прямые AC и BF пересекаются в точке X, прямые A
Средняя
Планиметрия