Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 5
( баллов) Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих . Сумма всех чисел равна . Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном сумма
выбранных чисел отличалась от не более чем на .
Ответ
Доказательство. Обозначим данные числа через , , , . Без ограничения общности будем считать,
что . Если это не так, то будем доказывать утверждение задачи для чисел с положительной
суммой. Из него будет следовать утверждение исходной задачи. Также будем считать, что , иначе можно
взять все числа , , , :
Для всех обозначим через наименьший индекс, для которого выполняется неравенство
. Рассмотрим также разности
. Заметим что и определены корректно, поскольку для суммы
всех чисел выполняется неравенство для любого .
Положим и . Заметим, что . Действительно, по построению имеем
Предположим, что все лежат на отрезке . Тогда найдутся два различных индекса , для которых . Без ограничения общности будем считать, что . Заметим, что по определению чисел . Тогда
Если , то из неравенства следует, что
Тем самым, числа , , , - искомые.
Если , то из неравенства следует, что . Следовательно, , значит .
Осталось разобрать случай, когда для некоторого выполнено . Тогда, если , имеем
Тем самым, числа , , , - искомые.
Если , то . Следовательно, , .
Комментарий. Запись решения существенно упрощается, если в качестве ответа разрешается предъявлять пустое множество